Nema problema, onda ću odmah dati rešenje četvrtog zadatka, koji je samo uopštenje trećeg pa se ova konstrukcija može primeniti i na njega (a i na drugi, koji je specijalan slučaj trećeg).
Zadatak 4:
Dato je: kružnice
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a148befcc53f1ee014375284c34576d2.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/adf9b3afdc37c4f5510cd0d3565b2d23.png)
, ugao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f21e4bb366442e3c2a12d6372176e317.png)
, realan broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/18941089b86f1608ce4eb26ad3d3919e.png)
. Naći tačku
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62801f4db90d766e4b6380fd3a1fbd3a.png)
takvu da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/72740b47cadbe80421165ce7574f49eb.png)
, gde su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/efc10e3f9a277323cfd2cbd04047e4ef.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ace327a3e8e417bfad6a8248c8d0a794.png)
dodirne tačke kružnica
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a148befcc53f1ee014375284c34576d2.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/adf9b3afdc37c4f5510cd0d3565b2d23.png)
i tangenta na njih povučenih iz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62801f4db90d766e4b6380fd3a1fbd3a.png)
, redom, pri čemu je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/331b94293205e7cd6591f565d84a4067.png)
.
Rešenje:
Neka su
![](https://static.elitesecurity.org/tex/22e5679bebd3930d0217cfba50fe1acc.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c2e155c108d36b46fb10f99a1716acef.png)
centri kružnica
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a148befcc53f1ee014375284c34576d2.png)
i
![](https://static.elitesecurity.org/tex/adf9b3afdc37c4f5510cd0d3565b2d23.png)
, redom. Iz proizvoljne tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a6c1e2cda02e2aadf64bac955f11ac03.png)
na pravoj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb50c39d83c820436ff380c79ef5a92b.png)
povucimo normalu na tu pravu. Iz proizvoljne tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ebd4f81234108301f68770450e1ff12e.png)
ove normale konstruišimo ugao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7a6df9fd32acf65273f54e4ca3be42ee.png)
(
dve mogućnosti). Povucimo sada tangentu u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6f9e8d4df70ae79df89b59e7f5be006f.png)
, paralelnu sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/367f7a8d5b073bf629140205857b6b04.png)
, na kružnicu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a148befcc53f1ee014375284c34576d2.png)
(
dve mogućnosti); neka ova tangenta seče
![](https://static.elitesecurity.org/tex/84a07a62009282e436780ee3d038c405.png)
u
![](https://static.elitesecurity.org/tex/61c2bc68c49bcf4fb53b1b401a8ce7d7.png)
. Odaberimo
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1aef324a1ba84843dbf738e278cd8383.png)
na pravoj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/7cedd5c0932e8a1de627a7d0b30136c4.png)
tako da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5cb93ba0aaf8700fe3033f109ee54573.png)
. Nađimo sada
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66a452e0cbf0d695a0da70d707b10375.png)
na
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb50c39d83c820436ff380c79ef5a92b.png)
tako da je duž
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f1ace7eb8b8081dcaa574fa37133ed47.png)
jednaka poluprečniku kružnice
![](https://static.elitesecurity.org/tex/adf9b3afdc37c4f5510cd0d3565b2d23.png)
(
dve mogućnosti). Sa centrom u
![](https://static.elitesecurity.org/tex/66a452e0cbf0d695a0da70d707b10375.png)
i poluprečnikom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb50c39d83c820436ff380c79ef5a92b.png)
, opišimo kružnicu koja seče
![](https://static.elitesecurity.org/tex/5532e3271ab32eefd99cb2241f62e437.png)
u
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633f34a51bdb3995281b09f7d86d590a.png)
(
dve mogućnosti). Kroz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633f34a51bdb3995281b09f7d86d590a.png)
povucimo pravu paralelnu sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633ca199f55c147ba801773b88990e63.png)
, i neka je njen presek sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/fef2dc795cd57b46360979d19f4a667c.png)
tačka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c2c1b2f0377b54dbcebc56a15c0ab592.png)
. Uočimo da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/24955d22c6a5c5d145a6ce0c334cb9d1.png)
i da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9783c5105cd65a282089533ab2b6a50d.png)
. Iz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633f34a51bdb3995281b09f7d86d590a.png)
povucimo pravu paralelnu sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb50c39d83c820436ff380c79ef5a92b.png)
; s centrom u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/22e5679bebd3930d0217cfba50fe1acc.png)
i poluprečnikom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/cb50c39d83c820436ff380c79ef5a92b.png)
opišimo kružnicu, koja seče ovu pravu u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/606d929fde93928da33e62372f271e40.png)
. Pošto je, za odgovarajući izbor tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/606d929fde93928da33e62372f271e40.png)
, četvorougao
![](https://static.elitesecurity.org/tex/430aa65055619dfe1b36795762d71c77.png)
paralelogram, kružnica koja prolazi kroz
![](https://static.elitesecurity.org/tex/633f34a51bdb3995281b09f7d86d590a.png)
i s centrom u
![](https://static.elitesecurity.org/tex/606d929fde93928da33e62372f271e40.png)
podudarna je s kružnicom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/adf9b3afdc37c4f5510cd0d3565b2d23.png)
, i nalazi se na istom rastojanju od kružnice
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a148befcc53f1ee014375284c34576d2.png)
. Dakle, dovoljno je rotirati tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3239e3a0145e441dc4825c0a2d72e900.png)
oko tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/22e5679bebd3930d0217cfba50fe1acc.png)
za
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d8c73d6e90851d7d18e64436ed0de962.png)
, i dobićemo tačke
![](https://static.elitesecurity.org/tex/c32efc7e62ccae88d78982fcdfc6a962.png)
, redom.
Primetimo da ima ukupno šesnaest mogućnosti za ovu konstrukciju. Međutim, posle završne rotacije, neka rešenja će se poklopiti, ostavljajući nam ukupno osam različitih tačaka
![](https://static.elitesecurity.org/tex/62801f4db90d766e4b6380fd3a1fbd3a.png)
, u opštem slučaju. Evo slike jedne od njih.
Brzo smo rešili ove zadatke, nisu ni dospeli na
listu nerešenih. :)
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.