Nema problema, onda ću odmah dati rešenje četvrtog zadatka, koji je samo uopštenje trećeg pa se ova konstrukcija može primeniti i na njega (a i na drugi, koji je specijalan slučaj trećeg).
Zadatak 4:
Dato je: kružnice
i
, ugao
, realan broj
. Naći tačku
takvu da je
, gde su
i
dodirne tačke kružnica
i
i tangenta na njih povučenih iz
, redom, pri čemu je
.
Rešenje:
Neka su
i
centri kružnica
i
, redom. Iz proizvoljne tačke
na pravoj
povucimo normalu na tu pravu. Iz proizvoljne tačke
ove normale konstruišimo ugao
(
dve mogućnosti). Povucimo sada tangentu u tački
, paralelnu sa
, na kružnicu
(
dve mogućnosti); neka ova tangenta seče
u
. Odaberimo
na pravoj
tako da je
. Nađimo sada
na
tako da je duž
jednaka poluprečniku kružnice
(
dve mogućnosti). Sa centrom u
i poluprečnikom
, opišimo kružnicu koja seče
u
(
dve mogućnosti). Kroz
povucimo pravu paralelnu sa
, i neka je njen presek sa
tačka
. Uočimo da je
i da je
. Iz
povucimo pravu paralelnu sa
; s centrom u tački
i poluprečnikom
opišimo kružnicu, koja seče ovu pravu u tački
. Pošto je, za odgovarajući izbor tačke
, četvorougao
paralelogram, kružnica koja prolazi kroz
i s centrom u
podudarna je s kružnicom
, i nalazi se na istom rastojanju od kružnice
. Dakle, dovoljno je rotirati tačke
oko tačke
za
, i dobićemo tačke
, redom.
Primetimo da ima ukupno šesnaest mogućnosti za ovu konstrukciju. Međutim, posle završne rotacije, neka rešenja će se poklopiti, ostavljajući nam ukupno osam različitih tačaka
, u opštem slučaju. Evo slike jedne od njih.
Brzo smo rešili ove zadatke, nisu ni dospeli na
listu nerešenih. :)
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.